Az integritástartományokban definiált oszthatósági reláció néhány tulajdonsága. (Az SZTE matematika alapszak Algebra és számelmélet (MBNK13) kurzusához házi feladat.)
\documentclass[a4paper,12pt]{amsart}%
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{nopageno}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem*{tetel}{T\'etel}
\renewcommand{\proofname}{Biz.}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\textheight}{3cm}
\addtolength{\voffset}{-3cm}
\newcommand{\idemitirjak}{\makebox[3cm]{\dotfill}}
\begin{document}
\renewcommand{\baselinestretch}{2.0}
Legyen $(R;+,\cdot)$ egy tetszőleges integritástartomány.
Bármely $a,b \in R$ esetén azt mondjuk, hogy $a$ osztója $b$-nek,
ha van olyan $c\in R$ elem, amelyre $b=ac$. Formálisan:
\[
a \mid b \iff \exists c \in R \colon b=ac.
\]
Az alábbiakban az oszthatósági reláció néhány tulajdonsága olvasható.
Töltse ki a hiányzó részeket, és indokolja meg a bizonyítások lépéseit.
Az indoklásoknál (mindig a \emph{mert} szó utáni rész)
az integritástartomány definíciójában szereplő kilenc műveleti tulajdonság
valamelyikére kell hivatkozni (pl. az összeadás asszociativitása,
zérusosztómentesség, stb.)
\begin{tetel}
Az oszthatóság reflexív reláció: $\forall a \in R \colon a \mid a$.
\end{tetel}
\begin{proof}
Azt kell belátnunk, hogy van olyan $c \in R$ elem, amelyre $a=\idemitirjak$.
Ilyen elem valóban létezik, mert \idemitirjak.
\end{proof}
\begin{tetel}
Az oszthatóság tranzitív reláció:
$\forall a,b,c \in R \colon a \mid b \text{ és } b \mid c \implies \idemitirjak$.
\end{tetel}
\begin{proof}
Tegyük fel, hogy $a \mid b$ és $b \mid c$, vagyis léteznek olyan $u,v \in R$ elemek,
amelyekre $b=\idemitirjak$ és $c=\idemitirjak$. Ekkor $c=\idemitirjak$,
mert \idemitirjak, és ez igazolja az állítást.
\end{proof}
\begin{tetel}
A multiplikatív egységelem mindenkinek osztója: $\forall a \in R \colon 1 \mid a$.
\end{tetel}
\begin{proof}
Azt kell belátnunk, hogy van olyan $c \in R$ elem, amelyre $\idemitirjak$.
Világos, hogy a $c=\idemitirjak$ elem megfelelő lesz.
\end{proof}
\begin{tetel}
Az additív egységelem mindenkivel osztható: $\forall a \in R \colon a \mid 0$.
\end{tetel}
\begin{proof}
Azt kell belátnunk, hogy van olyan $c \in R$ elem, amelyre $\idemitirjak$.
Az e\-lő\-a\-dás\-váz\-lat\-ban szereplő 2.3.~Állítás szerint a
$c=\idemitirjak$ elem megfelelő lesz.
\end{proof}
\begin{tetel}
Bármely $a,b,c \in R$ esetén, ha $a \mid b$ és $a \mid c$, akkor $a \mid b+c$.
\end{tetel}
\begin{proof}
Tegyük fel, hogy $a \mid b$ és $a \mid c$, vagyis léteznek olyan $u,v \in R$ elemek,
amelyekre $\idemitirjak$ és $\idemitirjak$.
Ekkor $b+c=\idemitirjak$, mert \idemitirjak. Ezzel beláttuk, hogy $a \mid b+c$.
\end{proof}
\end{document}